作者系中國(guó)社會(huì)科學(xué)院研究員，專著《可能世界的名字》入選《國(guó)家哲學(xué)社會(huì)科學(xué)成果文庫(kù)》

核證邏輯開始于20世紀(jì)90年代的“證明邏輯”，后者是為直覺主義邏輯提供算術(shù)語義的一個(gè)部分。根據(jù)哥德爾的一個(gè)推理結(jié)果，直覺主義邏輯嵌入到S4，由于哥德爾不完全性定理，S4的必然性算子不能作為算術(shù)中的形式可證性；但根據(jù)哥德爾1938年的一個(gè)推理想法，S4的必然性可以看作“顯式”可證性謂詞。這一思想在20世紀(jì)90年代被阿逖莫夫獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，成為建立證明邏輯系統(tǒng)的動(dòng)機(jī)，模態(tài)算子被一族顯式“證明項(xiàng)”所替換。阿逖莫夫證明的“算術(shù)完全性定理”表明，S4可嵌入到證明邏輯，而證明邏輯可嵌入到形式算術(shù)。所有這些一起為直覺主義邏輯提供了一個(gè)算術(shù)語義學(xué)。“核證邏輯”是把證明方法論內(nèi)部化的模態(tài)邏輯新分支。

可能世界語義學(xué)

模態(tài)邏輯是關(guān)于必然性和可能性的邏輯，或者說，是關(guān)于“一定是”和“可能是”的邏輯。必然性和可能性也可做其他解釋：真勢(shì)模態(tài)邏輯把必然解釋為必然真；道義邏輯則把必然解釋為道義必然性或規(guī)范必然性。必然也可以指“知道為真”或“相信為真”，這是認(rèn)知邏輯的解釋；如果指“總是為真”或“從此總是為真”，則是時(shí)態(tài)邏輯的解釋。還可以把“必然p”解釋為“p是可證的”。作為必然性和可能性的邏輯，模態(tài)邏輯不僅考慮事物實(shí)際存在方式的真和假，而且考慮“如果事物處在與實(shí)際存在方式不同的存在方式中，那么什么將是真的或假的”。如果一個(gè)人考慮到了事物在真實(shí)世界中的存在方式，那他或許也會(huì)考慮事物在可替代的、非真實(shí)即可能的世界中是如何地不同于真實(shí)世界中的存在方式。邏輯關(guān)注真和假，模態(tài)邏輯則關(guān)注真實(shí)世界和其他可能世界中的真和假。在這個(gè)意義上，一個(gè)命題在一個(gè)世界中是必然的僅當(dāng)它在可能替代該世界的所有世界中為真，它是可能的則僅當(dāng)它在可能替換該世界的某個(gè)可能世界中為真。

以此為基礎(chǔ)來考慮模態(tài)邏輯有效性的可能世界語義學(xué)始于20世紀(jì)50年代晚期和60年代早期�？赡苁澜缡强赡苁澜缯Z義學(xué)的核心概念，模態(tài)邏輯歷史中最主要的突破性進(jìn)展是可能世界語義學(xué)的提出，由于簡(jiǎn)單、自然以及起源于哲學(xué)等特點(diǎn)，可能世界語義學(xué)一直是模態(tài)邏輯模型論研究的基本工具。

可能世界的名字

可能世界語義學(xué)與舊有的句法傳統(tǒng)之間的對(duì)應(yīng)并不完美，局部視角與標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)語言的全局視角兩者之間的不對(duì)稱正是問題的來源。也就是說，在可能世界語義學(xué)中具有根本地位的（模型中的）可能世界并沒有在模態(tài)句法中表現(xiàn)出來。這種不對(duì)稱情形導(dǎo)致了許多并非我們需要的結(jié)果，比如，缺乏對(duì)許多語義特征的充分表示，缺乏合適的模態(tài)證明論。前者比較容易解釋，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)模態(tài)語言沒有一套機(jī)制來命名一個(gè)模型中的特殊“可能世界”、斷定或否定可能世界的相等、表達(dá)從一個(gè)可能世界到另一個(gè)可能世界的可達(dá)性等。這些都屬于模態(tài)模型論的核心問題，但在標(biāo)準(zhǔn)句法中表示不出來�？赡苁澜缯Z義學(xué)中框架的許多重要性質(zhì)都以一種非常間接的方式被表達(dá)出來，而其他許多重要性質(zhì)則干脆在標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)語言中無法被表達(dá)。

模態(tài)邏輯的標(biāo)準(zhǔn)證明論的應(yīng)用范圍是非常有限的。普通證明方法應(yīng)用到標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯時(shí)的問題主要與下述事實(shí)有關(guān)：很難處理模態(tài)算子轄域內(nèi)的信息。對(duì)于許許多多的模態(tài)邏輯來講，存在著大量的非公理化的證明系統(tǒng)，但是在大量情況下，這些邏輯提供的都是對(duì)它們的形式化中所出現(xiàn)的問題的人為解決。一些所謂自然的系統(tǒng)只是某些特殊的邏輯的形式系統(tǒng)，難以進(jìn)行一般化推廣。因此，在標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯中，與可能世界模型所成功提供的語義工作相比，句法方面并沒有一種統(tǒng)一的架構(gòu)可言。

一個(gè)自然而然的問題就是如何使得句法和語義相互一致起來。一種可能性就是在語言中為模型中的可能世界引入明顯的句法表示。這樣一種擴(kuò)張可以為表達(dá)力提供足夠的靈活性，不過也引發(fā)一個(gè)伴生的問題：以何種方式實(shí)現(xiàn)這一工作。至少可以有兩種方向：外部方向和內(nèi)部方向。外部方向是為邏輯語言引入新的元理論工具，模態(tài)邏輯中最流行的解決辦法是為公式添加前綴。內(nèi)部方向則是添加對(duì)象語言以及新的算子，對(duì)象語言的豐富通過對(duì)原子進(jìn)行分類表達(dá)到。這就是混合邏輯所做的工作——在句法中為可能世界引進(jìn)“名字”。

混合邏輯是模態(tài)邏輯的一個(gè)嶄新分支，不過起源可以追溯到20世紀(jì)50年代，只是重要性直到20世紀(jì)90年代才被認(rèn)識(shí)到。混合邏輯的兩個(gè)根本思想是：滿足關(guān)系的內(nèi)部化（此時(shí)的滿足關(guān)系是相對(duì)而言的）、把命題劃分為普通命題和名字。

添加了這些內(nèi)容之后，我們可以獲得怎樣的結(jié)果？尤其是，這樣一來確實(shí)就比標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)語言優(yōu)越嗎？這個(gè)問題在原子分類方面尤其有意思：眾所周知，對(duì)一階語言的變?cè)�進(jìn)行劃分并不會(huì)獲得更多的表達(dá)能力，只是比標(biāo)準(zhǔn)單種類語言表述得稍微緊致、簡(jiǎn)單一點(diǎn)。但是，在模態(tài)語言中對(duì)（命題）變?cè)�進(jìn)行分類將會(huì)真正改變表達(dá)能力從而獲得更多的改進(jìn)。因此，混合的模態(tài)語言主要是修復(fù)關(guān)系結(jié)構(gòu)的元素與語言能力之間不對(duì)稱性的一種工具。簡(jiǎn)而言之，混合語言的引入將有下述用處：獲得更具表達(dá)力的語言；完全性理論中更好的表現(xiàn)；更自然、更簡(jiǎn)單的證明理論；可判定性、復(fù)雜性、內(nèi)插性以及其他重要性質(zhì)中的良好行為。

關(guān)于獲得更具表達(dá)力的語言，直接的字面意思就是說在擴(kuò)張后的語言所表述的邏輯中將會(huì)有更多的有效式，但更為重要的是，混合語言可以定義許多在標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)語言中不能表達(dá)的框架性質(zhì)。表達(dá)能力的提高有利于更為直接、更為完備的框架可定義性理論的建立�；旌线壿嬛蝎@得的一般完全性理論也將比標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯中相應(yīng)的結(jié)果更為簡(jiǎn)單。模態(tài)邏輯的標(biāo)準(zhǔn)證明方法的應(yīng)用比較復(fù)雜是因?yàn)楹茈y處理模態(tài)算子轄域內(nèi)的句子。在混合邏輯中，一些自然的工具如名字和滿足算子可以處理這一問題�；旌线壿嬛械拿恳粋�(gè)模態(tài)化句子都可以分裂成幾個(gè)部分，其中一些部分載有一個(gè)模型的結(jié)構(gòu)信息，而一個(gè)部分直接為我們給出原先處于模態(tài)算子轄域內(nèi)的句子。把復(fù)雜信息分解成較為簡(jiǎn)單部分的這一自然方式，容易使經(jīng)典邏輯的非公理化方法移植到模態(tài)邏輯。因此，混合邏輯更為豐富的語言為模態(tài)證明論提供了更為一般且統(tǒng)一的句法背景。

值得一提的是，在很多情況下，我們不必為語言表達(dá)能力的提高而付出代價(jià)。邏輯的一個(gè)非常重要的特征是它們的可判定性及判定程序的復(fù)雜性。那些可判定的模態(tài)邏輯經(jīng)過混合化之后仍然是可判定的，而且通常的情況是復(fù)雜性也并沒有被觸動(dòng)。

可能世界語義學(xué)是模態(tài)邏輯最流行的語義學(xué)，也是最具哲學(xué)意義的語義學(xué)，在模態(tài)邏輯的對(duì)象語言中引入“可能世界的名字”作為一類原子命題，非但沒有破壞模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)，反而提高了它的表達(dá)能力，具有深刻的理論意義和哲學(xué)意義。

構(gòu)造核證邏輯系統(tǒng)

混合邏輯是內(nèi)部化了的可能世界語義學(xué)的模態(tài)邏輯，而核證邏輯內(nèi)部化了證明方法論。一個(gè)自然而然的問題是：是否具有核證邏輯形式的混合邏輯。也就是說，把“可能世界的名字”引入核證邏輯，在一個(gè)邏輯中既內(nèi)部化語義學(xué)又內(nèi)部化證明，把這兩種思想組合到一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)中。這個(gè)方向開始于世界著名邏輯學(xué)家費(fèi)汀在2010年的工作。我們的研究在其基礎(chǔ)上構(gòu)造了混合邏輯形式的核證邏輯系統(tǒng)，把語義學(xué)內(nèi)部化和證明內(nèi)部化統(tǒng)一在一個(gè)形式系統(tǒng)內(nèi)，建立起混合核證邏輯的極小系統(tǒng)，提出適當(dāng)?shù)恼Z義解釋并給出完全性定理和實(shí)現(xiàn)定理的證明，從而解決了費(fèi)汀提出來的未解決問題——混合核證邏輯的極小系統(tǒng)問題。

混合核證邏輯極小系統(tǒng)的建立對(duì)于混合核證邏輯這一族邏輯的研究具有重要意義，極小系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)意味著這一族邏輯中“最普遍真理”的發(fā)現(xiàn)。從哲學(xué)上來說，由一個(gè)名字命名的可能世界是一類“事實(shí)”，在維特根斯坦看來，“邏輯空間中的諸事實(shí)即是世界”，構(gòu)成一個(gè)世界的諸事實(shí)必須要能被驗(yàn)證確實(shí)是構(gòu)成了一個(gè)世界，這是建立并研究“混合的核證邏輯”的部分哲學(xué)意義。